モンテカルロ法シミュレーター

ALGORITHM

モンテカルロ法とは何をしているか

モンテカルロ法は、乱数を使った試行をたくさん繰り返し、その結果の割合から答えを見積もる方法です。 数式で正確に解くのが難しい問題でも、「たくさん試して数える」だけで答えに近い値が得られます。 名前はカジノで有名なモナコの地区名から来ています。

円周率を求める例では、次の3つを繰り返すだけです。

1. 乱数で点を1つ作る（x と y をそれぞれ 0以上1未満の乱数にする）
2. 円の内側かどうか判定する（x × x + y × y <= 1 なら内側）
3. 内側なら数える（inside を1増やす）

なぜ4倍すると円周率になるのか

1辺が1の正方形の面積は 1 です。その正方形に収まる半径1の四分円（円の4分の1）の面積は π ÷ 4 です。点が正方形全体にまんべんなく散らばるなら、 円の内側に入る点の割合は、面積の比 π/4 に近づくはずです。

つまり inside ÷ trial ≒ π ÷ 4 なので、両辺を4倍して π ≒ 4 × inside ÷ trial となります。これがコードの最後の式です。 シミュレーターの「いまの近似値」は、この式をその時点までの結果で計算したものです。

平方根を使わない判定

本来、原点から点までの距離は √(x² + y²) です。「距離が1以下」を確かめるには平方根が必要に見えますが、 両辺を2乗しても大小関係は変わらないため、x × x + y × y <= 1 と書けます。 計算が簡単になるうえ、平方根の関数を使わずに済みます。この書き換えはよく問われます。

試行回数を増やすとどうなるか

シミュレーターは20回までは1試行ずつ、それより多いときはまとめて進みます。試行回数を 10 → 100 → 1000 と切り替えてみてください。 回数が少ないうちは近似値が 2.8 や 3.6 のように大きくぶれますが、回数を増やすと 3.14 前後に落ち着いていくことが分かります。

ここで使う「乱数」とは

乱数とは、次にどの値が出るか決まっていない数のことです。ただしコンピュータが作る乱数は、 実際には計算式で作られた「擬似乱数」で、見かけ上ばらばらに見えるだけです。 そのため「同じ出発点（シード）を与えれば同じ並びが再現できる」という性質を持ちます。

情報Ⅰでは「0以上1未満の乱数」という書き方がよく出ます。ここで1が含まれない点が大切です。 たとえばサイコロを作るなら 整数部分(乱数 × 6) + 1 と書きます。 1が含まれてしまうと 7 が出る可能性が生まれるため、範囲の指定は必ず確認してください。

試行回数と精度の目安

実際にどのくらいの精度になるのか、目安を持っておくと問題文の判断が速くなります。

10倍にしても1桁ぶんの精度は増えません。 誤差が試行回数の平方根に反比例するため、1桁増やすには回数を100倍にする必要があります。 シミュレーターで10回と1000回を交互に試すと、この差を実感できます。

他にどんなことに使えるか

面積や体積の見積もり、待ち時間の予測、ゲームの勝率の見積もりなど、「実際に何度も試してみないと分からない」問題全般に使えます。 共通テストでは、円周率のほかに複雑な図形の面積を求める題材で出題されることがあります。 考え方は同じで、「図形を囲む長方形に点を打ち、図形の内側に入った割合 × 長方形の面積」で求められます。

CODE

3つの書き方で見るモンテカルロ法

inside = 0
trial = 1000

i を 1 から trial まで 1 ずつ増やしながら繰り返す:
｜x = 0以上1未満の乱数
｜y = 0以上1未満の乱数
｜もし x × x + y × y <= 1 ならば:
⎿⎿ inside = inside + 1

pi = 4 × inside ÷ trial
表示する(pi)

import random

inside = 0
trial = 1000

for i in range(trial):
    x = random.random()
    y = random.random()
    if x * x + y * y <= 1:
        inside = inside + 1

pi = 4 * inside / trial
print(pi)

let inside = 0;
const trial = 1000;

for (let i = 0; i < trial; i++) {
  const x = Math.random();
  const y = Math.random();
  if (x * x + y * y <= 1) {
    inside = inside + 1;
  }
}

const pi = (4 * inside) / trial;
console.log(pi);

EXAM POINT

共通テスト「情報Ⅰ」での出題ポイント

1. 判定の条件式：x × x + y × y <= 1 の空欄。平方根を使わない形に書き換えられている点が要点です。
2. 最後の式：pi = 4 × inside ÷ trial の「4」がどこから来たのか。面積の比 π/4 から説明できるようにします。
3. 近似であること：「この方法の特徴として正しいものを選べ」という形。厳密解ではなく近似、実行のたびに結果が変わるが答えになります。
4. 試行回数と精度：「回数を増やすとどうなるか」。真の値に近づきやすくなるが、必ず近づくとは限らない点に注意します。
5. 他の図形への応用：正方形以外の範囲に点を打つ場合の式。「割合 × 全体の面積」で求めます。

MISTAKES

よくある間違い

CHECK

理解度チェック